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        點亮希望的種子 / 初中數學 / 「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題...

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        「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5

        2020-01-05  點亮希望...
          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5

          01 典型例題

          如圖,已知點A、點B是直線上的兩點,AB=12厘米,點C在線段AB上.點P、點Q是直線上的兩個動點,點P的速度為1厘米/秒,點Q的速度為2厘米/秒.

          (1)當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時,線段PQ=________厘米;

          (2)若AC=6厘米,點P、點Q分別從點C、點B同時出發沿射線BA方向運動,當運動時間為2秒時,求PQ的長;

          (3)若AC=4厘米,點P、Q分別從點C、點B同時出發在直線AB上運動,則經過多少時間后線段PQ的長為5厘米.

          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5

          【解析】

          (1)由線段中點的定義可得CP= 0.5AC,CQ= 0.5CB,所以PQ= 0.5AC+ 0.5CB= 0.5AB,把AB的值代入計算即可求解;(2)由路程=速度x時間可求出BQ和CQ、CP的值,則PQ=CP+CQ可求解;(3)由題意可分4種情況求解:① 當點P、Q沿射線BA方向運動,若點Q在點P的後面,由圖可列關於時間的方程求解;② 當點P、Q沿射線BA方向運動,若點Q在點P前面, 由圖可列關於時間的方程求解;③ 當點P、Q在直線上相向運動,點P、Q在相遇前, 由圖可列關於時間的方程求解;④ 當點P、Q在直線上相向運動,點P、Q在相遇后,由圖可列關於時間的方程求解。

          【答案】 (1)如圖1,因為AB=12厘米,點C在線段AB上,

          所以,當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時,線段PQ=1/2 AB=6.故答案為:6;(2)解:如圖2,當t=2時,BQ=2×2=4,

          則CQ=6-4=2.

          因為CP=2×1=2,所以PQ=CP+CQ=2+2=4(厘米)(3)解:設運動時間為t秒.

          ①如圖3,當點P、Q沿射線BA方向運動,若點Q在點P的後面,

          得:t+8-2t=5,解得t=3,

          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5
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          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5

          ②如圖4,當點P、Q沿射線BA方向運動,若點Q在點P前面,得:2t-8-t=5,解得t=13.

          ③如圖5,當點P、Q在直線上相向運動,點P、Q在相遇前,得:t+2t=3,解得t=1.

          ④如圖6,當點P、Q在直線上相向運動,點P、Q在相遇后,得:t+2t=13,解得t= 13/3 .

          綜合可得t=1,3,13, 13/3 .所以經過1,3,13, 13/3 秒后PQ的長為5厘米.

          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5
          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5

          02 舉一反三

          如圖,點A、B都在數軸上,O為原點.

          「口袋數學」數學七上,壓軸題,動態問題,多少時間后PQ的長為5

          (1)點B表示的數是________;

          (2)若點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動,則2秒後點B表示的數是________;

          (3)若點A、B分別以每秒1個單位長度、3個單位長度的速度沿數軸向右運動,而點O不動,t秒后,A、B、O三個點中有一個點是另外兩個點為端點的線段的中點,求t的值.

          【解析】(1)根據數軸上所表示的數的特點即可直接得出答案;(2)用點B開始所表示的數+點B運動的路程=經過t秒後點B表示的數,即可得出結論;(3)找出t秒後點A、B表示的數,分①點O為線段AB的中點,②當點B是線段OA的中點,③點A是線段OB的中點,根據線段中點的數學語言列出方程,求解即可求出此時的t值,綜上即可得出結論。

          【答案】 (1)點B表示的數是-4;(2)2秒後點B表示的數是 0 ;

          (3)解:① 當點O是線段AB的中點時,OB=OA, 4-3t=2+t ,t=0.5

          ② 當點B是線段OA的中點時, OA = 2 OB,2+t=2(3t-4),t=2

          ③ 當點A是線段OB的中點時, OB = 2 OA,3t--4=2(2+t),t=8

          綜上所述,符合條件的t的值是0.5,2或8.

          03 鞏固練習

          已知數軸上A,B兩點對應數分別為-2和5,P為數軸上一點,對應數為x.

          (1)若P為線段AB的三等分點(把一條線段平均分成相等的三部分的兩個點),求P點對應的數.

          (2)數軸上是否存在點P,使P點到A點,B點距離和為10?若存在,求出x值;若不存在,請說明理由.

          (3)若點A,點B和點P(P點在原點)同時向左運動,它們的速度分別為1,6,3個長度單位/分,則第幾分鐘時,A,B,P三點中,其中一點是另外兩點連成的線段的中點?

          【分析】(1)根據兩點間的距離公式得出AB=7, 又因P為線段AB的三等分點,所以 AP 1/3 或 8/3 ,進而再根據數軸上兩點間的距離公式即可求出點P所表示的數;(2)分類討論:若P在A點左側 ,根據兩點間的距離公式由PA+PB=10列出方程,求解算出x的值; 若P在A點、B中間 ,由於PA+PB=AB=7,故 不存在這樣的點P; 若P在B點右側 ,根據兩點間的距離公式由PA+PB=10列出方程,求解算出x的值,綜上所述即可得出答案;(3) 設第x分鐘時,點A的位置為:﹣2﹣x,點B的位置為:5﹣6x,點P的位置為:﹣3x ,然後分類討論: ①當P為AB的中點, ②當A為BP中點時 , ③當B為AP中點時 三種情況根據線段的中點性質列出方程,求解即可。

          【答案】 (1)解:因數軸上A、B兩點對應的數分別是﹣2和5,所以AB=7,又因P為線段AB的三等分點,所以 AP=7÷3= 7/3 或AP=7÷3×2= 14/3 ,所以P點對應的數為 1/3 或 8/3(2)解:若P在A點左側,則﹣2﹣x+5﹣x=10,解得:x=﹣ 7/2 ;

          若P在A點、B中間. ∵AB=7,∴不存在這樣的點P;

          若P在B點右側,則x﹣5+x+2=10,解得:x= 13/2(3)解:設第x分鐘時,點A的位置為:﹣2﹣x,點B的位置為:5﹣6x,點P的位置為:﹣3x,①當P為AB的中點,則 5﹣6x+(﹣2﹣x)=2×(﹣3x),解得:x=3;

          ②當A為BP中點時,則2×(﹣2﹣x)=5﹣6x﹣3x,解得:x= 9/7;

          ③當B為AP中點時,則2×(5﹣6x)=﹣2﹣x﹣3x,解得:x= 3/2 .

          答:第 9/7 分鐘時,A為BP的中點;第 3/2 分鐘時,B為AP的中點;第3分鐘時,P為AB的中點.

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